Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат

Выполнил:

ученик9А класса

средней школы № 135

Матвеев Евгений.

Управляющий проекта:

О черетина Т.В.

Казань 2004 г.

7 класс.

Глава I .

Точки, прямые, отрезки.

Через любые две точки Если две прямые имеют общую

можно провести прямую, точку, то они пересекаются.

и притом только одну.

Ровная а и точки А и В.

Ровная а и Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат b пересекаются в точке О.

Две прямые или имеют только одну общую точку,

или не имеют общих точек.

Угол.

Угол – это геометрическая фигура, Угол именуется развёрнутым, которая состоит из точки и 2-ух лучей, если обе его стороны

исходящих из этой точки. лежат на одной прямой.

Угол с верхушкой Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с верхушкой С

и сторонами p и q.

Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º .

Луч, исходящий из верхушки угла и Два угла, у каких одна общая

делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие

именуется биссектриса угла. являются продолжениями одна

другой Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат, именуются смежными.

Два угла, именуются вертикальными,

если стороны 1-го угла являются Сумма смежных углов = 180º.

продолжениями сторон другого.

Две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны. именуются перпендикулярными,

если они образуют 4 прямых угла.

Глава I I.

Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, Р АВС = АВ+ВС+СА.

кот-ая состоит Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат из 3 точек, не лежа-

щих на 1 прямой, соединённых отрезками.

В равных треугольниках против

Треугольник с верхушками А, В, С и соответственно равных сторон

Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против

соответственно равных равных

углов лежат равные стороны.

Аксиома: Если 2 стороны и угол Аксиома: Из точки, не лежа-

меж Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести

соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом

и углу меж ними другого только один.

треугольника, то треугольники равны.

Отрезок, соединяющий верхушку треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,

ка с серединой обратной сто- соединяющий верхушку треуг-ка

роны, именуется медианой треуг Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат-ка. с точкой обратной сторо- ны, именуется бисс-сой треуг-ка.

Перпендикуляр, проведённый из верши-

ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,

обратную сторону, называ- именуется равнобедренным.

ется высотой треуг-ка.

Аксиома: В равнобедренном треуг-ке

ВН - высота треуг-ка АВС. углы при Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат основании равны.

Аксиома: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про-

треуг-ке бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является медианой

к основа-нию, является и бисс-сой.

медианой и высотой.

Медиана, проведённая к основанию, явля-

ется высотой и бисс-сой.

Аксиома: Если сторона и 2 Аксиома: Если три Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат стороны 1го

прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём

треуг-ка соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие

ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны.

ней углам другого треуг-ка, то

такие треуг-ки равны.

Определение: Окружность именуется геометр-ая фигура, состоя-щая из Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат всех точек, располож-ых на данном расс-нии от данной точки.

Глава I I I.

Параллельные прямые.

Определение: Две прямые Аксиома: Если при скрещении 2 пря-

на плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-

если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.

Аксиома: Если при скрещении 2 пря-

Накрест лежащие – 3 и Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат 5, 4 и 6. мых секущей соответствующые углы рав-

Однобокие – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.

Соответствующые – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Аксиома: Если при пересече- Аксиома: Если две параллельные пря-

нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест

однобоких углов равна лежащие углы равны.

180º, то прямые параллельны.

Аксиома: Если две прямые пересечены Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат

Аксиома: Если две парал- секущей, то сумма однобоких углов

лельные прямые пересечены равна 180º.

секущей, то соответствен-

ные углы равны.

Глава IV.

Соотношения меж сторонами

и углами треугольника.

Аксиома: Сумма углов Наружный угол треуг-ка = сумме 2-ух углов тре-

треуг-ка = 180º. уг-ка, не смежных с ним Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат.

В любом треугольнике или Аксиома: В треуг-ке против большей сто-

все углы острые, или два роны лежит больший угол, против большего

два угла острые, а 3-ий угла лежит большая сторона.

тупой либо прямой.

В прямоугольном треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат-к – равнобедренный.

Аксиома: Любая сторона Для всех 3 точек А,В,С, не лежащих на

треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства:

2 других сторон. АВ< AB + BC , ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.

Сумма 2-ух острых углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий

моугольного треуг-ка = 90º . против угла в 30º Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат; , равен ½ гипотенузы.

Если катет прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг-

ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого

щий против этого катета, = 30º . , то такие треуг-ки равны.

Если катет и прилежащий к нему Аксиома: Если гипотенуза и острый

острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат-ка соот-

треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро-

катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие

треугольники равны. Аксиома: Если гипотенуза и катет 1го

прямоугольного треуг-ка соответствен-

Аксиома: Все точки каж- но равны Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат гипотенузе и катету другого,

дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны.

равноудалены от другой прямой.

Расстояние от случайной точки 1ой из параллельных прямых до

другой прямой именуется прямой именуется расстоянием меж

этими прямыми.

8 класс.

Глава V .

Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n -угольника В параллелограмме обратные

= ( n -2)180º. стороны Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат равны и обратные

углы равны.

Диагонали параллелограмма точ-

кой скрещения делятся напополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и

параллельны, то этот 4-угольник – па-

раллелограм.

Если в 4-угольнике противопо-

неверные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе-

то этот 4-угольник – параллело- каются и точкой скрещения делятся

гр. напополам, то этот Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат 4-угольник – парал-

лелограмм.

Трапецией именуется 4-угольник,

у кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником именуется парал-

2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,

то этот параллелограмм – прямоуголь-

Ромбом именуется параллело- ник.

гр, у кот-го все стороны Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат

равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-

ны и делят его углы напополам.

Квадкатом именуется прямо-

угольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны.

равны.

Диагонали квадрата равны, взаимно

Фигура именуется симметричной перпендикулярны, точкой скрещения

относительно прямой а, если для делятся напополам и делят углы

каждой точки фигуры симметричная квадрата напополам.

ей Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат точка относительно прямой а

также принадлежит этой фигуре. Ровная а именуется осью симметрии.

Фигура именуется симметричной Точка О именуется центром симмет-

относительно точки О, если для рии фигуры.

каждой точки фигуры симметрич-

ная ей точка относительно точки О

также принадлежит этой фигуре.

Глава VI .

Площадь.

Равные многоугольники Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат имеют S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S .

Если многоугольник составлен из Аксиома: S прямоугольника = про-

нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.

Его S = сумме площадей этих

многоугольников. Аксиома: S параллелограмма = про-

изведению его основания на высоту.

Аксиома: S треугольника =

= произведению его основания S прямоугольного треугольника = 1/2

на высоту Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат. произведения его катетов.

Если высоты 2ух 3-угольников Аксиома: Если угол 1го 3-угольника

равны, то их S относятся равен углу другого 3-угольника, то S

как основания. этих 3-угольников относятся как про-

изведения сторон, заключающих равные

Аксиома: S трапеции = про- углы.

изведению полусуммы её осно-

ваний на высоту. Аксиома: В Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат прямоугольном 3-угольни-

ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-

Аксиома: Если квадрат 1ой тов катетов.

стороны 3-угольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

3-угольник прямоугольный.

Глава VII .

Подобные треугольники.

Определение: 2 3-угольника Аксиома: Отношение S 2ух подоб-

именуются схожими, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-

углы соответственно равны и фициента подобия.

стороны Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат 1го 3-угольника про-

порционально сходственны Аксиома: Если 2 угла 1го 3-уголь-

сторонам другого. ника соответственно = 2мозг углам

другого, то такие 3-угольники по-

Аксиома: Если 2 стороны 1го добны.

3-угольника пропорциональны 2мозг

сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые меж этими сторо-

нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

Аксиома: Если 3 стороны 1го Аксиома: Средняя Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат линия параллель-

3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой

3ём сторонам другого, то такие стороны.

3-угольники подобны.

sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь-

3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета

противолежащего катета к к гипотенузе.

гипотенузе.

tg угла = отношению sin к cos

tg острого Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат угла прямоугольного этого угла: tg = sin / cos .

3-угольника – отношение противо-

лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое

тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного sin 2 α+ cos 2 α=1.

3-угольника = острому углу другого прямо-

угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

x 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °
sinx 0 1/2 2/2 3/2 1 0 -1 0
cosx 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0 1
tgx 0 1/ 3 1 3 0 0
ctgx 3 1 1/ 3 0 0
0 П /6 П/4 П/3 П/2 П 3П Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат/2

Глава VIII .

Окружность.

Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие

точки. Ровная является секущей. точки. Ровная является касательной.

Если расстояние от Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат центра окруж- Аксиома: Касательная к окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r , прове-

мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.

точек.

Аксиома: Если ровная проходит

Отрезки касательных к окружнос- через конец r , лежащий на окруж-

ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы с r , то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.

Угол с верхушкой в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром

ности — её центральный угол. О < полуокружности либо является

полуокружностью, то Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной

ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её

градусная мера считается =

Угол, верхушка кот-го лежит на = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, именуется Аксиома: Вписанный угол измеряя-

вписанным углом. ется Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат ½ дуги, на кот-ую он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО разделяет угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.

Луч ВО не разделяет угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат совпадает со сторона- же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-

окружность, -- прямой.

Аксиома: Если 2 хорды ок- Аксиома: Любая точка бисс-сы

ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой от его сторон. Любая точка, ле-

хорды = произведению отрез- жащая снутри Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат угла и равноудалённая

ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.

Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке. именуется ровная, проходящая через

середину отрезка и перпендикулярная

Аксиома: Любая точка се- к нему.

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат Серединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Любая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез- точке.

ка, лежит на серединном перпен-

дикуляре. Аксиома: в хоть какой 3-угольник мож-

но вписать окружность.

Аксиома: Высоты 3-угольника

(либо их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке. окружность Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат.

Аксиома: Около хоть какого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж- обратных углов = 180°.

ность.

Если сумма обратных углов 4-угольника = 180°, то около него можно обрисовать окружность.

Глава IX .

Векторы.

Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост- го обозначено, какой из его концов счи-

ранстве Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат – векторные. тается началом, а какой – концом,

именуется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы именуются

коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора ориентированы идиентично,

или на одной прямой, или на то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар- Если 2 вектора ориентированы противопо-

ным Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат хоть какому вектору. неверно, то они обратно напра-

влены.

Определение: Векторы,

именуются равными, если От хоть какой точки М можно отложить

они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и

ны равны. притом только один.

Аксиома: для всех векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

1. ă + č = č + ă (переместительный закон);

2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).

Аксиома: Для всех векто- Произведение Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат хоть какого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.

ă – č = ă + ( - č ).

Для хоть какого числа k и хоть какого векто- ( kl )ă= k ( l ă ) (сочетательный закон);

ра ă векторы ă и k ă коллинеарны. ( k + l )ă= k ă+ l ă(1ый рспред-ный закон);

k (ă+č )= k ă+ k č.

Аксиома: Средняя линия тра-

пеции Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат параллельна основаниям

и = их полусумме.

9 класс.

Глава X .

Способ координат.

Лемма: Если векторы ă и č Аксиома: Хоть какой вектор можно раз-

коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2разум данным неколлинеар-

твует такое число k , что č= k ă. ным векторам, причём коэффициен-

ты разложения определяются един-

Любая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат соответству-

ющих координат этих векторов. Любая координата произведения век-

тора на число = произведению соот-

Любая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот- на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число. Координаты точки М = соответству-

ющим координатам её радиус-вектора.

Любая координата вектора =

разности соответственных ко Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат- Любая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответственных ко-

ординат его концов.

Глава XI .

Соотношения меж сторонами

и углами 3-угольника.

Скалярное произведение

векторов.

Для хоть какого угла α из промежут- tg угла α(α=90°) именуется отношение

ка 0° <α<180° sin угла α называ- sin α/ cos α.

ется ордината у точки М, а cos Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат

угла α – абсцисса х угла α. sin (90°-- α)= cos α

Аксиома: S 3-угольника = ½ Аксиома: Стороны 3-угольника про-

произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих

sin угла меж ними. углов.

Аксиома: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – двойное произведение этих сторон на cos угла меж ними.

а2 = b Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат 2 +с2 -2 b с cos α.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов именуется произве- ту его длины.

дение их длин на cos угла меж

ними.

Аксиома: Скалярное произведение векторов а( х1 ; у1 ) и b ( х2 ; у2 ) выражается формулой:

ab =х1 х2 +у1 у2 .

Нулевые векторы а( х1 ; у1 ) и cos угла Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат а меж нулевыми векторами

b ( х2 ; у2 )перпендикулярны а( х1 ; у1 ) и b ( х1 ; у1 ) выражается формулой:

и тогда только тогда, ког- cos α=х1 х2 +у1 у2 / х1 +у1 х2 + у2 .

да х1 х2 + у1 у2 = 0.

Для всех векторов а, b , с и хоть какого числа Справочник по геометрии (7-9 класс) - реферат k справедливы соотношения:

а2 >0, причём а2 >0 при а=0.

а b = b а (переместительный закон).

( а+ b )с=ас+ b с (распределительный закон).

( k а ) b = k ( ab ) (сочетательный закон).


spravochnaya-informaciya-vklyuchaet.html
spravochnaya-metodicheskie-rekomendacii-k-kontrolnoj-rabote-sankt-peterburg.html
spravochnie-dannie-metodicheskie-rekomendacii-po-realizacii-zadachi-grazhdanskoj-oboroni-predostavlenie-naseleniyu.html